Ensembles finis Exemples

$y = \frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$ .

$\frac{25 - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

Étape 2

Factorisez chaque terme.

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Étape 2.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5^{2} - x^{2}}{8 + x^{2}} = y$

Étape 2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 5$ et $b = x$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$

Étape 3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$8 + x^{2}, 1$

Étape 3.2

Supprimez les parenthèses.

$8 + x^{2}, 1$

Étape 3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$8 + x^{2}$

Étape 4

Multiplier chaque terme dans $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ par $8 + x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} = y$ par $8 + x^{2}$ .

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Annulez le facteur commun de $8 + x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(5 + x) (5 - x)}{8 + x^{2}} (8 + x^{2}) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$(5 + x) (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.2

Développez $(5 + x) (5 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (5 - x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x (5 - x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$5 \cdot 5 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.3.1.1

Multipliez $5$ par $5$ .

$25 + 5 (- x) + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$25 - 5 x + x \cdot 5 + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$25 - 5 x + 5 \cdot x + x (- x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$25 - 5 x + 5 x - x \cdot x = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.3.1.5.1

Déplacez $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - (x \cdot x) = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$25 - 5 x + 5 x - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.2

Additionnez $- 5 x$ et $5 x$ .

$25 + 0 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Étape 4.2.3.3

Additionnez $25$ et $0$ .

$25 - x^{2} = y (8 + x^{2})$

Étape 4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$25 - x^{2} = y \cdot 8 + y x^{2}$

Étape 4.3.2

Déplacez $8$ à gauche de $y$ .

$25 - x^{2} = 8 y + y x^{2}$

Étape 5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $y x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$25 - x^{2} - y x^{2} = 8 y$

Étape 5.2

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - y x^{2} = 8 y - 25$

Étape 5.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2} - y x^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} \cdot - 1 - y x^{2} = 8 y - 25$

Étape 5.3.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- y x^{2}$ .

$x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y) = 8 y - 25$

Étape 5.3.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 1 + x^{2} (- y)$ .

$x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ par $- 1 - y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} (- 1 - y) = 8 y - 25$ par $- 1 - y$ .

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $- 1 - y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} (- 1 - y)}{- 1 - y} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{8 y}{- 1 - y} + \frac{- 25}{- 1 - y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 - y}$

Étape 5.4.3.2

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - y}$

Étape 5.4.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1) - (y)}$

Étape 5.4.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (y)$ .

$x^{2} = \frac{8 y - 25}{- 1 (1 + y)}$

Étape 5.4.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{8 y - 25}{1 + y}$

Étape 5.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$

$x = - \sqrt{- \frac{8 y - 25}{1 + y}}$